GRUP DAN SUBGRUP

GRUP DAN SUB GRUP

PEMBAHASAN

GRUP, SUB GRUP DAN SIFAT – SIFATNYA

A.    GRUP

Struktur aljabar adalah suatu himpunan tidak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi  biner.  Jika himpunan  S dilengkapi  dengan  satu operasi  biner * maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*) dan jika S dilengkapi dengan dua operasi biner * dan o maka struktur aljabar tersebut dinyatakan (S,*, o) atau (S, o,*).

Definisi 1:

1.      Operasi  biner * pada S adalah  jika "a, b  Î S berlaku a*b  Î S, atau sering dikatakan Operasi * pada S bersifat tertutup.

2.      Jika Operasi  * pada S tertutup maka (S,*)  disebut  Grupoid  yaitu struktur aljabar dengan satu operasi yang tertutup (biner).

3.      Operasi biner * pada S dikatakan assosiatif jika "a, b, c Î S,  (a*b)*c = a*(b*c).

4.      Grupoid (S,*) disebut semigrup jika Operasi biner * pada S assosiatif

5.      Himpunan S terhadap operasi * dikatakan mempunyai elemen identitas e jika "e Î S, "a ÎS,  a*e = e*a = a

6.      Semigrup (S,*) disebut monoid jika S terhadap * mempunyai elemen identitas e.

7.      Himpunan S terhadap operasi * dikatakan komutatif jika "a, b Î S,  a*b = b*a

Definisi 2 ;

Misalkan  G adalah himpunan  tidak kosong dilengkapi  dengan  operasi maka struktur aljabar  (G,.) disebut Grup jika dipenuhi aksioma-aksioma berikiut :

a.       Tertutup, artinya "a, b Î G berlaku a.b Î G

b.      Asosiatif, artinya "a, b, c ÎG berlaku (a .b).c = a.(b.c)

c.       Mempunyai elemen identitas ditulis e, artinya ("a Î G) a.e = e.a =a

d.      Setiap elemen mempunyai invers dinotasikan a^-1 adalah invers dari a, artinya ("a Î G) ("a^-1 ÎG) sehingga a^-1.a = a.a^-1 = e

B.     SIFAT – SIFAT GRUP

Teorema :

Jika (G,*) merupakan grup maka berlaku :

1.      Ketunggalan elemen identitas

2.      Ketunggalan elemen invers

3.      Sifat kanselasi atau pelenyapan atau penghapusan : "a, b, c Î G berlaku

                    i.            jika a * b = a * c maka b = c , disebut kanselasi kiri

                  ii.            jika a * c = b * c maka a = b, disebut kanselasi kanan

4.      persamaan-persamaan a * x = b dan y * a = b mempunyai penyelesaian tunggal

5.      "a, b Î G bersifat : i. (a^-1)^-1 = a dan ii. (a * b)^-1 = b^-1 * a^-1

PEMBUKTIAN :

3.i. Diketahui (G,*) adalah grup dan a Î G maka ada a^-1ΠG sehingga

a * a^-1 = a^-1 * a = e, dengan e elemen identitas dari G. menurut ketentuan

a * b = a * c maka

a^-1 * (a * b) = a^-1 * (a * c)

(a^-1 * a) * b = (a^-1 * a) * c              sifat asosiatif

e * b = e * c  dengan a^-1 * a = e

b = c

Pertama dibuktikan a * x = b mempunyai penyelesaian

Diketahui (G,*) adalah grup dan a Î G maka ada a^-1ΠG sehingga a * a^-1 = a^-1 * a = e, dengan e elemen identitas dari G,

dari ketentuan  a * x = b maka a^-1 * (a * x) = a^-1 * b

Û (a^-1 * a) * x = a^-1 * b

Û  e * x = a^-1 * b

Û x = a^-1 * b Î G

jadi a^-1 * b adalah penyelesaian dari persamaan a * x = b

4. Selanjutnya dibuktikan ketunggalan penyelesaian persamaan a * x = b.

Misalkan persamaan a * x = b mempunyai penyelesaian x₁ dan x₂ maka berlaku :

a * x₁ = b dan a * x₂ = b sehingga a * x₁ =  a * x₂

Û a^-1 * (a * x₁) = a^-1 * (a * x₂)

Û (a^-1 * a) * x₁ = (a^-1 * a) * x₂

Û e * x₁ =  e * x₂

Û x₁ =  x₂

5.      Ditunjukkan "a Î G,  (a^-1)^-1 = a

(G,*) adalah grup dan a Î G maka ada a^-1ΠG sehingga

a * a^-1 = a^-1 * a = e ………(1)

dengan e elemen identitas dari G. Karena a^-1ΠG maka ada (a^-1)^-1ΠG sehingga (a-1)^-1 * a^-1 = a^-1 * (a^-1)^-1 = e……...(2)

dari (1) dan (2) diperoleh :  a^-1 * a = a^-1 * (a^-1)^-1 dengan sifat 5.i. diperoleh

a = (a^-1)^-1

SUBGRUP

1.      Pengertian subgrup

Definisi :

Misalkan (G,*) suatu grup, H disebut subgrup dari G jika H kompleks dari G dan  (H,*) merupakan  suatu  grup.    H  subgrup dari  grup G jika H kompleks dari G dan H juga suatu grup terhadap operasi yang sama pada G.

Contoh :

1.      G = (1, -1, i, -i } dengan i = √-1 maka (G,x) merupakan grup dan H = {1, - 1} adalah subgrup dari G karena H ≠ Φ, H Ì G sehingga H kompleks dari (H,x) juga suatu grup.

2.      (Z,+) merupakan subgrup dari (Q,+)

3.      (Q – {0},x) merupakan subgrup dari (R – {0},x)

4.      Misalkan  2Z  = {x  |  x = 2n,  n  Î  Z } =  { …, -2, 0, 2, …  } maka (2Z,+) subgrup dari (Z,+)

2.      Teorema tentang Subgrup

Teorema 1 :

Misalkan G adalah grup dan H kompleks dari G

H subgrup dari G jika dan hanya jika ("a, b Î H) berlaku i. ab Î H dan ii. a^-1  Î H.

Bukti

Diketahui G adalah grup dan H kompleks dari G

(Þ) H subgrup dari G maka H juga merupakan grup sehingga ("a, b Î H) pasti berlaku i. ab Î H dan ii. a^-1ΠH

(Ü) "a, b Î H berlaku i. ab Î H dan ii. a^-1ΠH.

Akan  ditunjukkan  H  subgrup dari  G berarti  H  merupakan  grup,  sebagai berikut :

·         Tertutup diketahui dari i

·         Asosiatif : ambil sebarang x, y, z Î H maka x, y, z Î G karena H Ì G dan G adalah grup maka berlaku (xy)z = x(yz)

·         Ada  elemen  satuan : dari ii.  diketahui          "a        Î  H berlaku a^-1Π H  dan menurut i. berlaku aa^-1ΠH dan aa^-1 = e maka e Î H

·         Setiap elemen dalam H mempunyai invers diketahui dari ii.

Teorema 2 :

Misalkan G adalah grup dan H kompleks dari G

H subgrup dari G jika dan hanya jika "a, b Î H berlaku ab^-1ΠH.

Bukti :

Diketahui G adalah grup dan H kompleks dari G

(Þ) H subgrup dari G sehingga H juga merupakan grup Akan ditunjukkan "a, b Î H berlaku ab^-1ΠH, sebagai berikut :

Ambil sebarang a, b Î H, karena H grup maka terdapat b^-1ΠH sehingga a, b^-1ΠH dan H mempunyai sifat tertutup maka ab^-1ΠH

(Ü) "a, b Î H berlaku ab^-1ΠH. Akan ditunjukkan H subgrup yakni H merupakan grup, sebagai berikut :

Ambil sebarang c Î H maka cc^-1ΠH (diketahui)

cc^-1 = e maka e Î H   ………………………………………………    (*1)

e, c Î H maka ec^-1 = c^-1ΠH (diketahui)...…………………………    (*2)

Ambil sebarang a, b Î H, menurut (**) b^-1ΠH, jika a, b^-1ΠH maka a(b^-1)^-1ΠH.

Karena a(b^-1)^-1 = ab maka ab Î H, jadi H tertutup ………………..     (*3)

Jelas  bahwa H  mempunyai  sifat  asosiatif karena H Ì  G maka "x, y, z Î  H pasti  x, y, z Î G dan G adalah grup maka berlaku (xy)z = x(yz) …   (*4)

Dari  (*1), (*2),(*3), dan  (*4) terbukti  H merupakan  grup yang  berarti  H subgrup dari G.

 SIFAT – SIFAT SUBGRUP

Teorema 1 :

Misalkan G suatu grup

Jika H subgrup dari G maka i. HH = H dan ii. H^-1= H

Bukti :

Diketahui G grup dan H subgrup dari G, harus dibuktikan

i.                    HH = H  ( HH Ì H dan H Ì HH)

·         Ambil sebarang x Î HH berarti x = ab untuk suatu a, b Î H dan karena H subgrup maka ab = x Î H. Jadi " x Î HH Þ x Î H atau HH Ì H

·         Ambil sebarang h Î H, dan H subgrup maka e Î H sehingga h = he  Î HH.

Jadi "h Î H Þ h Î HH atau H Ì HH

ii.                  Bukti bahwa H^-1 = H

Teorema 2 :

Misalkan  G suatu  grup,  sedangkan H  dan  K  masing - masing  subgrup dari  G, maka : HK merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika HK = KH.

Bukti :

Diketahui G grup, H subgrup dari G dan K subgrup dari G (Þ) HK juga subgrup dari G ditunjukkan HK = KH (HK Ì KH dan HK Ì KH)

·         Menurut teorema 1. ii . HK subgrup maka (HK)^-1 = HK ………….( )

Ambil x Î HK = (HK)^-1 maka x = t^-1 untuk setiap t Î HK berarti t = hk untuk setiap t Î H, kÎK. karena H dan K subgrup maka h^-1 ∈ H, k^-1∈ K, sehinga x = t^-1 = (hk)^-1= k^-1h^-1∈ KH Jadi∀x ∈ HK ⇒ x ∈ KH atau HK ⊂ KH.

·         Menurut teorema 1.ii, H dan K subgrup maka H^-1= H dan K^-1= K

Ambil sebarang y ∈ KH = K^-1H^-1 maka y = cd untuk suatu c ∈ K^-1, d ∈ H^-1 berarti c = q^-1untuk suatu q ∈ K dan d = r^-1 untuk suatu r ∈ H, sehingga y = q^-1r^-1= (rq)^-1 ∈ (HK)^-1= HK menurut ( ) Jadi ∀ y ∈ KH ⇒ x ∈ HK atau KH ⊂ HK (⇐) HK = KH ditujukan HK sugrup dari G. Karena H dan K masing-masing sugru maka setip z ∈ HK, z = u untuk sutu u ∈ H, v ∈ K, seinga u, v ∈ G, z = u v ∈ G. jadi HK ⊂ G.………………………………………………        (a)

Disamping itu e ∈ H dane ∈ K maka e = ee ∈ HK. Jadi HK ≠ Φ …  (b Daria) dan b diproleh HK kmpleks dari G

Ambil sembarang x, y ∈ HK ⇒ x = h₁k₁,y = h₂k₂u/ suatu h₁, h₂ ∈ H, k₁, k₂ ∈ K

xy^-1        = h₁k₁(h₂k₂)

= h₁k₁(k₂^-1h₂^-1)             sifat sederhna grup

= h₁(k₁k₂^-1)h₂^-1             sifat asosiatif

= (h₁k*)h₂^-1)                 k* = k₁k₂^-1 Î K

= (k^oh^o)h₂^-1                   h₁k* Î HK = KH maka h₁k* = k^oh^o, k^oΠK, h^oΠH

= k^o(h^o h₂^-1)                  sifat asosiatif

= k^oh* Î KH = HK

jadi HK kompleks dari G dan "x, y Î HK maka xy^-1 Î HK. Dengan kata lain HK subgrup dari G

  

Kesimpulan

Dari penjabaran materi atas dapat di tarik kesimpulan sebagai berikut ;

1.      Suatu himpunan dikatakan grup jika memenuhi syarat – syarat di antaranya bersifat tetutup, bersifat asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan mempunyai invers.

2.      Sifat – sifat sederhana dari grup yaitu sifat pengapusan atau karelasi atau pelenyapan baik yang berada di kanan maupun yang berada di sebelah kiri.

3.      Subgrup merupakan bagian dari grup.

 Saran

Dalam penulisan makalah ini penulis menghimbau dapan penulisan makalah alngkah baiknya memenuhi aturan dalam penulisan.